miércoles, 20 de abril de 2011

Bucles extraños.

M. C. Escher. Cascada. Litografía. 1961.
Un bucle extraño se produce cuando, al moverse hacia arriba o hacia abajo a través de un sistema jerárquico de objetos, procesos, etc., vinculados uno al otro por algún tipo de relación, uno se encuentra de nuevo donde comenzó. De esta forma, el nivel más alto o el más bajo no están definidos. El concepto de bucle extraño propuesto por Douglas Hofstadter en Gödel, Escher, Bach, y con más detalle en el libro de Hofstadter Soy un extraño bucle, implica autorreferencia y paradoja.


Estos son algunos de los ejemplos propuestos por Hofstadter:



El Canon per tonos de Bach comienza en do menor, pero termina re menor, en un cambio de tono del que es difícil darse cuenta. Puede repetirse el proceso y empezar en re menor para acabar en mi menor, otra vez para acabar en fa sosenido, etc. Repetido el proceso seis veces, se vuelve a comenzar en do menor, una octava más arriba de como empezó la pieza. El proceso puede repetirse hasta el infinito.

El bucle extraño es la idea subyacente de la Cascada de Escher, así como de muchas otras obras suyas.

Cinta de Moebius. M. C. Escher. 1961.

Un amigo anónimo nos ha enviado este enlace donde podemos disfrutar de un tono Shepard (por su descubridor Roger Shepard). Una ilusión auditiva de que el tono desciende constantemente (puede conseguirse también un efecto de ascenso), cuando en realidad se permanece en el mismo.
Se ejecutan escalas paralelas en varios rangos de octava diferentes. Se hace que la octava inferior vaya desapareciendo gradualmente y al mismo tiempo se va introduciendo la octava superior.


En bucle extraño pueden darse saltos de nivel como en esta figura de M. C, Escher.
M. C. Escher. Manos dibujando.
En este caso, el salto de nivel va de imagen (bidimensional) a dibujante (tridimensional e inteligente).

Gödel utilizó un bucle extraño, para ser muy breve diría que usó una frase autorreferente, para atacar los Principia Mathematica (PM) de Russell y Whitehead:
Soy indemostrable en PM
Esta frase, efectivamente, resultó indemostrable en PM y por tanto la frase es verdad.
Lo malo es que se pensaba que los PM contenían todas las verdades (en términos de la Lógica) y Gödel había encontrado una verdad que no estaba dentro de PM.
Por tanto, los PM son incompletos (Teorema de incompletitud)

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